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    已知二次函数y=x2，现取x轴上的点，分别为A1(1，0)，A2(2，0)，A3(3，0)，…，An(n，0)，…，过这些点分别作x轴垂线，与抛物线分别交于A′1，A′2，A′3，…，A′n…，记由线段A′nAn，AnAn+1，An+1A′n+1及抛物线弧A′n+1A′n所围成的曲边梯形的面积为an，
    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
    (Ⅱ)作直线y=与A′nAn(n =1，2，3，…)交于Bn，记新的曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1，面积为bn，求的前n项和Sn；
    (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′nAn(n=1，2，3，…)交于Cn，记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn，求证：P1+。

    解：(Ⅰ)；
    (Ⅱ)依题意，，
    ，
    ∴，
    ∴，
    ∴。
    (Ⅲ)记直角三角形Cn+1An+1An面积为dn，
    则，
    ∴，
    ∴，
    原式即证：，
    用数学归纳法证明：
    ①当n=1时，左边=1，右边=lna，左边＞右边，命题成立；
    ②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，
    即，
    当n=k+1时，，
    下证：

    构造函数，
    ，∴f（x）在单调递增，
    所以当时，，∴x＞ln（1+x），
    ∵，
    ∴，
    故命题对n=k+1时也成立，
    由①②得，对任意n∈N*都成立，故原命题成立。

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