Question

(08年绍兴一中三模)   如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.

⑴求证：MN⊥AB；

⑵若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，能否确定，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.

 

Answer 1

解析：证明：（1）取CD的中点K，连MK、NK，∵AM=BM，DK=CK，

∴MK=AD，且MK∥AD.   ∵AB⊥AD，∴AB⊥MK.

∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，  ∴PD⊥AB.   ∵PN=CN，DK=CK，

∴NK∥PD.∴AB⊥NK，又MK∩NK=K， ∴AB⊥平面MNK，   ∴AB⊥MN.    

（2）解：由（1）得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.

∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM      ①

∵AM=BM，∴①PA=BC.  ②    ∵BC=AD，   ∴②PA=AD.

又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.  ∴∠ADP为二面角A―CD―P的平面角.

从而PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=，

    ∴存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.