Question

已知向量

a

=(an，2)，

b

=(an+1，

2

5

)且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且

α

=λ

b

（λ∈R，λ≠0），则

lim

n→∞

sn=

5

4

．

Answer 1

分析：由题意

α

=λ

b

成立，可得 an+1=

1

5

an，由此知此数列为一公比为

1

5

的等比数列，数列{a_n}的首项a₁=1，求出其前n项之和为S_n，求其极限即可．

解答：解：由题意

α

=λ

b

成立，可得 an+1=

1

5

an，
由此知此数列为一公比为

1

5

的等比数列，数列{a_n}的首项a₁=1，
∴S_n=

1-( 1 5 )n

1-( 1 5 )

=

5

4

(1-(

1

5

)n)=

5

4

-

5

4

×(

1

5

)n
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[

5

4

-

5

4

×(

1

5

)n]=

5

4

故答案为：

5

4

．

点评：本题考查数列的极限，解题的关键是根据向量的内积公式，得出数列的性质首项为1，公比为

1

5

的等比数列，求出其前n项之和为S_n，极限的运算法则也很关键．