Question

给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为

π

2

．
④若P为双曲线x²-

y2

9

=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是

②③

（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：对于①，分别举反例说明充分性和必要性都不成立：函数y=|x|，在x=0处取极小值但f′（0）≠0，说明充分性不成立；函数f（x）=x³在x=0处，f′（x）=0，而f（0）并非函数的极值，必要性质不成立．由此进行判断．
对于②，分析题意，2和3相邻的偶数有两类，一类是2在末位，两数相邻不交换，一类是4在末位，两数相邻可交换，分类计数，再求两者的和得到答案；
对于③，由函数是偶函数及θ的范围求出θ的值，再由|x₂-x₁|的最小值为π得到w的值．从而得到函数的解析式．
对于④，由双曲线的定义知||PF₁|-|PF₂||=2a，结合其几何特征，计算可得答案．

解答：解：对于①，先说明充分性不成立，
例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，
说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；
再说明必要性不成立，设函数f（x）=x³，则f′（x）=3x²
在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；
对于②，由题意，
若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A₃³=6种
若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A₂²×A₃³=12，
综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；
对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=

π

2

+kπ k∈z 又∵0＜θ＜π∴θ=

π

2

由诱导公式得函数y=2coswx  又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若|x₂-x₁|的最小值为π
∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；
对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=

10

，
由双曲线的定义知||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴|PF₁|-4=±2，
∴|PF₁|=6或2，但是|PF₁|≥c-a=

10

-1，故|PF₁|=2舍去．故④错．
故答案为：②③．

点评：本题考查双曲线的简单性质、命题的真假判断与应用、函数在某点取得极值的条件、排列、组合及简单计数问题、正弦函数的奇偶性竺，解题时要认真审题，仔细解答．