Question

【题目】已知O为原点，抛物线的准线与y轴的交点为H，P为抛物线C上横坐标为4的点，已知点P到准线的距离为5.

（1）求C的方程；

（2）过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过B，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）由题意结合椭圆的性质可得，求得后即可得解；

（2）设，，直线AB的方程为，联立方程组结合韦达定理可得，由圆的性质、直线垂直的性质可得，进而可得，再由抛物线的性质即可得解.

（1）由题意点，抛物线的准线方程为，

则，解得或（舍），

∴抛物线方程为；

（2）由题意抛物线的焦点为，准线方程为，，

由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，

设，，直线AB的方程为，

代入抛物线方程可得，，

∴，，①

又，，

由可得，∴，

整理得，即，

∴，②

把①代入②得，

则.