Question

已知变量x和y满足约束条件

x-y+1≥0 x+y-3≤0 y≥1

．
（1）求z=4x+2y的最大值；
（2）求k=

y+2

x+1

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据约束条件画出可行域，设z=4x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=4x+2y过可行域内的点C时，从而得到z值即可．
（2）明确目标函数几何意义，目标函数表示动点（x，y）与定点P（-1，-2）连线斜率，过P做直线与可行域相交可计算出直线斜率，从而得出所求目标函数范围．

解答：解：（1）作出可行域如图．（3分）
将z=4x+2y变形为y=-2x+

z

2

，
可知直线过点C时z取得最大值．
由

y=1 x+y-3=0

得C（2，1）（5分）
即x=2且y=1时，z_max=10．（6分）
（2）k=

y+2

x+1

表示可行域内任一点（x，y）与定点P（-1，-2）连线的斜率．（7分）
由图可知，k_PC≤k≤k_PB．
由

y=1 x-y+1=0

得B（0，1）．
∴k_PC=1，k_PB=3，故k的取值范围是[1，3]．（10分）

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．