Question

（2013•东坡区一模）我校开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响，已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积．
（1）记“ξ=0”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）设该生选修甲，乙，丙课程的概率依次为P₁，P₂，P₃，则由题意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，由此能求出事件A的概率．
（2）ξ=2的意义为选一门或选两门．由事件的互斥性和独立性能求出P（ξ=2）=0.76，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）设该生选修甲，乙，丙课程的概率依次为P₁，P₂，P₃，
则由题意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，
解得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，…（4分）
由题意可设ξ可能取的值为0，2，
ξ=0的意义为选三门或一门都不选．
因此P（ξ=0）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.24．
故事件A的概率为0.24．…（6分）
（2）ξ=2的意义为选一门或选两门．
由事件的互斥性和独立性可知
P（ξ=2）=0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5+0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5=0.76．…（9分）
结合（1）（2）可知随机变量ξ的分布列为

ξ	0	2
P	0.24	0.76

…（11分）
由此可得，所求数学期望为：Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．