Question

中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

的椭圆的短轴上两端点分别为A、B．M是椭圆上异于A、B的一点，直线AM、BM与x轴分别相交于P、Q两点，O是坐标原点，若

.

OP

•

.

OQ

=2，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：由已知条件，利用直线方程的截距式分别求出点P，Q的横坐标的表达式，再利用

.

OP

•

.

OQ

=2和椭圆的方程求出椭圆的长轴，由此能求出椭圆方程．

解答：解：∵中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
设M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．
由直线方程的截距式及M，P，B三点共线，
得到

x0

q

+

y0

b

=1，
∴

bx0

b-y0

，
由直线方程的截距式及M，P，B三点共线，
得到

x0

p

-

y0

b

=1，
∴p=

bx0

b+y0

，
∵

.

OP

•

.

OQ

=2，
∴|pq|=

b2x02

b2-y02

=2，
由椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0得

b2x02

b2-y02

=a²，
∴a²=2，
又∵离心率e=

2

2

，
∴a=

2

，c=b=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查椭圆的应用，涉及到向量、直线的截距式方程、椭圆等知识点，综合性强，解题时要注意等价转化思想的合理运用．