Question

已知椭圆

y2

75

+

x2

25

=1的一条弦的斜率为3，它与直线x=

1

2

的交点恰为这条弦的中点M，则点M的坐标为

(

1

2

，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：设直线与椭圆的交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则

y12 75 + x12 25 =1 y22 75 + x22 25 =1

，两式相减，得

y12-y22

75

+

x12-x22

25

=0，由此利用题设条件能推导出点M的坐标．

解答：解：设直线与椭圆的交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则

y12 75 + x12 25 =1 y22 75 + x22 25 =1

，
两式相减，得

y12-y22

75

+

x12-x22

25

=0，
（y₁-y₂）（y₁+y₂）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂），

y1-y2

x1-x2

=-3×

x1+x2

y1+y2

，
因为直线斜率为3，∴

y1-y2

x1-x2

=3，
∵两交点中点在直线x=

1

2

，x₁+x₂=1，
∴3=-3×1×（y₁+y₂），
∴

y1+y2

2

=-

1

2

．
所以中点M坐标为（

1

2

，-

1

2

）．
故答案为：（

1

2

，-

1

2

）．

点评：本题考查点的坐标的求法，具体涉及到直线与椭圆的位置关系，直线的性质等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．