Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我们由三垂线定理，得CD⊥PD，结合线面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（II）过点B作BE∥CA，且BE=CA，连接AE．则∠PBE是AC与PB所成的角，解三角形PBE，即可得到AC与PB所成角的余弦值．

解答：解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（II）过点B作BE∥CA，且BE=CA，连接AE．
则∠PBE是AC与PB所成的角，（5分）
可求得AC=CB=BE=EA=

2

．（6分）
又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，∴BE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD．∴PA⊥BE，
∴BE⊥面PAE．
∴BE⊥PE，即∠PEB=90°
在Rt△PAB中，得PB=

5

．（9分）
在Rt△PEB中，cos∠PBE=

BE

PB

=

10

5

．（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，求异面直线夹角时，通过平移将问题转化为解三角形问题是解答这类问题的关键．