练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•泉州模拟）（1）选修4-2：矩阵与变换
    若二阶矩阵M满足M
    12
    34
    =
    710
    46
    ．
    （Ⅰ）求二阶矩阵M；
    （Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    x=2tcosθ
    y=2sinθ
    （t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
    （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
    OA
    •
    OB
    =10    （其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
    （Ⅰ）求m的值；
    （Ⅱ）求证：
    n4
    a2
    +
    p4
    b2
    +
    q4
    c2
    ≥2    ．
    分析：（1）（Ⅰ）记矩阵A=
    12
    34
    ，可得|A|=-2，A-1，再根据M=
    710
    46
    A-1    运算求得结果．
    （Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
    x′
    y′
    =
    12
    11
    x
    y
    ，可得
    x′=x+2y
    y′=x+y
    ，代入曲线方程3x2+8xy+6y2=1，
    化简可得x'2+2y'2=1．由可求得曲线的方程．
    （2）（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：
    x2
    t2
    +y2=4    ，分t=±1和t≠±1时，分别讨论曲线
    的形状．
    （Ⅱ）求出直线l的普通方程，与曲线的方程联立方程组，由判别式大于零解得t2＞3，利用韦达定理求出
    x1+x2=-
    8t2
    1+t2
    ，x1x2=
    12t2
    1+t2
    ，代入
    OA
    •
    OB
    =10     求得t2=3，出现矛盾，从而得出结论．
    （3）（Ⅰ）利用绝对值的几何意义可得 f（x）的最小值等于2，再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，从而得到m的值等于2．
    （Ⅱ）把不等式左边化为[(
    n2
    a
    )    2    +(
    p2
    b
    )    2    +(
    q2
    c
    )    2    ]     乘以（a2+b2+c2），再利用基本不等式证得结论．
    解答：（1）解：（Ⅰ）记矩阵A=
    12
    34
    ，故|A|=-2，故A-1=
    -21
    3
    2
    		-
    1
    2
    ．…（2分）
    由已知得M=
    710
    46
    A-1=
    710
    46
    -21
    3
    2
    		-
    1
    2
    =
    12
    11
    ．…（3分）
    （Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
    x′
    y′
    =
    12
    11
    x
    y
    ，得
    x′=x+2y
    y′=x+y
    ，
    解得
    x=-x′+2y′
    y=x′-y′
    ，…（5分）
    又3x2+8xy+6y2=1，故有3（-x'+2y'）2+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）2=1，
    化简得x'2+2y'2=1． 故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…（7分）
    （2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
    x2
    t2
    +y2=4    ．…（1分）
    ①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；  …（2分）
    ②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）
    （Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）
    联立直线与曲线的方程，消y得
    x2
    t2
    +(x+4)2=4    ，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．
    若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．…（5分）
    又x1+x2=-
    8t2
    1+t2
    ，x1x2=
    12t2
    1+t2
    ，…（6分）
    故
    OA
    •
    OB
    =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)    =2x1x2+4（x1+x2）+16=10．
    解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（7分）
    （3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）当且仅当2≤x≤4时，等号成立．
    再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）
    （Ⅱ）[(
    n2
    a
    )2+(
    p2
    b
    )2+(
    q2
    c
    )2]•(a2+b2+c2)    ≥(
    n2
    a
    •a+
    p2
    b
    •b+
    q2
    c
    •c)2    ，…（5分）
    即：(
    n4
    a2
    +
    p4
    b2
    +
    q4
    c2
    )×2≥    （n2+p2+q2）2=4，
    故
    n4
    a2
    +
    p4
    b2
    +
    q4
    c2
    ≥2    ．…（7分）
    点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识．曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识．绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，及函数与方程思想，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）已知f0(x)=x•ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N*）．
    （Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；
    （Ⅱ）设fn（x）的极小值点为Pn（xn，yn），求yn；
    （Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）下列函数中，既是偶函数，且在区间（0，+∞）内是单调递增的函数是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2=0，x∈R}，则A∩B为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）设函数f（x）=ax2+lnx．
    （Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
    （Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-
    12
    的下方，求a的取值范围；
    （Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？请证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）的对称中心，可得f(
    1
    2012
    )+f(
    2
    2012
    )+…+f(
    4022
    2012
    )+f(
    4023
    2012
    )    =（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案