(2012•浦东新区一模)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时活动.计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地.如图点M在AC上.点N在AB上.且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°且|AC|=30米.|AM|=x.x∈[10.20]．(1)试用x表示S.并求S的取值范围,(2)设矩形AMPN健身场地� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•浦东新区一模）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为

37k

，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为

12k

（k为正常数），求总造价T关于S的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=

（30-x），…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=

x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200

≤S≤225

为所求．…6分
（2）矩形AMPN健身场地造价T₁=37k

…7分
又△ABC的面积为450

，即草坪造价T₂=

12k

(450

-S）…8分
由总造价T=T₁+T₂，∴T=25k（

216

），200

≤S≤225

．…10分
∴T=25k（

216

），200

≤S≤225

∵

216

≥12

，…11分
当且仅当

216

即S=216

时等号成立，…12分
此时

x（30-x）=216

，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于基础题．

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②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为

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