Question

（2011•自贡三模）（本小题满分12分＞
设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，|

ON

|=6，

ON

=

5

•

OM

．过点M作MM₁丄y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

，记点T的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程：
（H）已知直线L与双曲线C：5x²-y²=36的右支相交于P、Q两点（其中点P在第-象限）．线段OP交轨迹C于A，若

OP

=3

OA

，S_△PAQ=-26tan∠PAQ求直线L的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），又

OM

=

1

5

ON

=(

1

5

x1，

1

5

y1)，M1(0，

1

5

y1)，

M1N

=(

1

5

x1，0)，

N1N

=(0，y1)，于是

OT

=

M1M

+

N1N

=(

1

5

x1，y1)，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x，y），由

OP

=3

OA

及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，由A∈C₁，P∈C₂，知5m²+n²=36，5m²-n²=4，解得A（2，4），P（6，12），设Q（x，y），则5x²-y²=36．由S=-26tan∠PAQ，得

1

2

|

AP

| •|

AQ

| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ，所以（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0．联立方程组，解得Q（3，-3）．由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），
又

OM

=

1

5

ON

=(

1

5

x1，

1

5

y1)，
∴M1(0，

1

5

y1)，

M1M

=(

1

5

x1，0)，

N1N

=(0，y1)，
于是

OT

=

M1M

+

N1N

=(

1

5

x1，y1)，
即（x，y）=(

1

5

x1 ，y1)，
∴

x1= 5 x y1=y

，代入|

ON

| =6，得5x²+y²=36．
∴曲线C的方程是5x²+y²=36．
（Ⅱ）设A（x，y），由

OP

=3

OA

及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，
∵A∈C₁，P∈C₂，
∴5m²+n²=36，5m²-n²=4，
解得m=2，n=4，即A（2，4），P（6，12），
设Q（x，y），则5x²-y²=36①，
由S=-26tan∠PAQ，得

1

2

|

AP

| •|

AQ

| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ，
∴

AP

•

AQ

=-52，
即（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0②
联立①②，解得

x=- 51 19 y=- 3 19

，或

x=3 y=-3

，
∵Q在双曲线的右支，∴Q（3，-3）．
由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程为

y+3

12+3

=

x-3

6-3

，
即5x-y-18=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．