Question

（本小题满分15分）设，．
（1）当时，求曲线在处的切线的斜率；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（1）当时，，故.                  ……3分
（2）存在，使得成立等价于，
∵，∴，
∴在上单调递减，在上单调递增，                                    ……6分
∴，，
∴，
∴满足的最大整数为4；                                                          ……8分
(3)对于任意，都有成立，等价于．
由（2）知，在上，，
∴在上，恒成立，等价于恒成立，
记，则且，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴∴.                                                        ……15分
合运算所学知识分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
点评：恒成立问题是高考中一个常考的考点，恒成立问题一般转化成最值问题来解决.导数是研究函数性
质尤其是单调性、最值问题的有力工具，要灵活运算，但是不要忘记定义域.