Question

已知函数f（x）=cos²x+2tsinxcosx-sin²x，
（1）当t=1时，若f(

α

2

)=

3

4

，试求sin2α；
（2）若函数f（x）在区间(

π

12

，

π

6

]上是增函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，化简函数得f（x）=cos2x+sin2x，从而f(

α

2

)=sinα+cosα=

3

4

，将其两边平方，结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系，可得sin2α的值；
（2）化简函数得f（x）=cos2x+tsin2x，从而得到f'（x）=-2sin2x+2tcos2x．由函数单调性与导数关系，得f'（x）≥0在区间(

π

12

，

π

6

]上恒成立，注意到cos2x＞0，将不等式变量分离并讨论tan2x的最值，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（1）当t=1时，函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x，…（3分）．
∵f(

α

2

)=

3

4

，∴sinα+cosα=

3

4

，
两边同时平方，并整理得：2sinαcosα=-

7

16

，…（5分）
由此可得sin2α=-

7

16

…（6分）
（2）化简函数，得f（x）=cos2x+tsin2x
∴f'（x）=-2sin2x+2tcos2x
函数f（x）在区间(

π

12

，

π

6

]上是增函数，
等价于不等式f'（x）≥0在区间(

π

12

，

π

6

]上恒成立，
即f'（x）=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间(

π

12

，

π

6

]上恒成立，…（9分）
∵2x∈（

π

6

，

π

3

]为锐角，cos2x是正数，∴t≥tan2x在在区间(

π

12

，

π

6

]上恒成立，
而函数y=tan2x在区间上的最大值为tan(2•

π

6

)=

3

，所以t≥

3

∴实数t的取值范围是[

3

，+∞）．…（12分）．

点评：本题给出三角函数表达式，讨论函数的单调性并求参数取值范围，着重考查了二倍角的正弦、同角三角函数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．