Question

【题目】如图：在直三棱柱中，，，是棱上一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连结，设，连结，由平面，利用线面平行的性质，可得，由是的中点，证得为的中点；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的正弦值；

（3）在第二问的基础上，设，根据直线与平面所成的角的正弦值，求出，求出线段的长

（1）连结，设，连结

∵平面，平面，平面平面，∴.

∵为正方形的中心，∴.∴.

∵，∴.

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.

则，，，，，

设平面的法向量为，又

则，令，得，

设平面的法向量为，又

则则，令，得，

∴.

∴.

∴二面角的正弦值为.

（3）设，其中

∴

∵，∴

∴，.