Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）已知为的两个零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，对参数进行讨论，当导数大于零时单调增，当导数小于零时单调减；

(2)由函数有两个零点，根据第一问的结论，可以断定，分别将两个零点代入函数解析式，得到两个方程，将两式相减得到，即，之后将问题转化，构造新函数，利用导数研究函数的性质，从而证得结果.

详解：（1）函数的定义域为，

，

当时恒成立，

∴在上单调递增，

当时，

令得，令得，

∴在上单调递增，上单调递减.

（2）由为的两个零点及（1）知，

∴，两式相减得，即，

要证，只需证，

即证，即证 ，

不妨设，令，只需证，

设，则 ，

设，则，∴在上单减，

∴，∴在上单增，

∴，即在时恒成立，原不等式得证.