Question

【题目】已知函数(b为常数)

（1）若b=1,求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1处的切线方程;

（2）若b≥2,对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数b的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）将b=1代入，求导后得到斜率，求出切点，利用点斜式得到切线方程;

（2）分析可知，函数f(x)=lnx在区间[1，2]上是增函数，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数，进而问题等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，进一步等价于在区间[1，2]上恒成立，由此即可得解.

（1）若b=1，函数，

∴，故又切点为，

故所求切线方程为2x﹣2y﹣1=0;

（2）不妨设x1>x2，

∵函数f(x)=lnx在区间[1，2]上是增函数，

∴f(x1)>f(x2)，

∵函数g(x)图象的对称轴为x=b，且b>2，

∴当b≥2时，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数，

∴g(x1)<g(x2)，

∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，

等价于函数在区间[1，2]上是增函数，

等价于在区间[1，2]上恒成立，

等价于在区间[1，2]上恒成立，

∴b≤2，

又b≥2，故b=2.