练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=处取得极值-．记函数图象为曲线C．
    （Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
    （Ⅱ）设曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，求S1的值；
    （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S2，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点Pn（xn，f（xn））处的切线交于另一点Pn+1（xn+1，f（xn+1）），线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为Sn，试求Sn关于n的表达式．
    【答案】分析：（I）利用奇函数的特点，采用特殊值代入法即可解得b=d=0，再利用函数极值的特点，列方程组即可解得a、c的值，从而确定函数的解析式；
    （II）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积
    （III）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点Pn（xn，f（xn））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积Sn，发现数列{Sn}为等比数列，从而利用等比数列的通项公式计算Sn关于n的表达式即可
    解答：解：（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
    即d=0且-a+b-c=-a-b-c
    ∴b=d=0
    即f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c，又f（x）=ax3+cx在x=处取得极值-，
    ∴即
    得a=1，c=-1，∴f（x）=x3-x
    （Ⅱ）∵f′（x）=3x2-1，f（1）=0，f′（1）=2，
    ∴曲线C在点P1处的切线方程为y=2（x-1）
    由解得x1=1，x2=-2，
    ∴S1=||=|（）|=
    （Ⅲ）f（x）在Pn（xn，f（xn））的切线：
    y-（-xn）=（3-1）（x-xn）即y=（3-1）x-2
    由解得x=xn或x=-2xn，
    ∴Pn+1（-2xn，f（-2xn）），xn+1=-2xn，
    Sn=|x3-x-[（3-1）x-2]dx|=|（）|=
    同理得Sn+1=，又xn+1=-2xn≠0，∴==16，又S1=
    ∴Sn=•16n-1=•16n  n∈N*．
    点评：本题综合考查了函数的性质，导数的几何意义，导数在函数极值中的应用，定积分的几何意义及其运算，函数与数列的综合运用，等比数列的通项公式等知识，综合性较强，难度较大
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
    （Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
    （Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    19、已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
    （I）求函数y=f（x）的表达式；
    （II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
    （Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），命题p：y=f（x）是R上的单调函数；命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点．则p是q的（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
    （1）求函数f（x）的表达式； 
    （2）求函数的单调区间和极值；
    （3）求函数在区间[-2，5]的最值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
    f′(-3)f′(1)
    =
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案