Question

（2009•河西区二模）已知数列{a_n}的通项a_n为函数f（x）=x²+（n+4）x-2（n∈N^*）在[0，1]上的最小值和最大值的和，又数列{b_n}满足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首项为1，公比为

8

9

的等比数列的前n项和
（Ⅰ）求a_n的表达式；
（Ⅱ）若c_n=-a_nb_n，试问数列{c_n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c_n≤c_k成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用二次函数求出最大值和最小值，从而得出数列{a_n}的通项；
（II）利用等比数列的通项公式b_n=

T1，  当n=1时 T1-Tn，当n≥2时

分类讨论的思想方法即可得出．

解答：解：（I）∵f（x）=x²+（n+4）x-2的对称轴为x=-

n+4

2

，又当n∈N^*时，-

n+4

2

＜0，
故f（x）=x²+（n+4）x-2在[0，1]上是增函数
∴a_n=f（0）+f（1）=-2+1+（n+4）-2=n+1，即a_n=n+1
（Ⅱ）∵Sn=1+

8

9

+(

8

9

)2+…+(

8

9

)n-1
由nb1+(n-1)b2+(n-2)b3+…+2bn-1+bn=(

8

9

)n-1+(

8

9

)n-2+…+

8

9

+1  ①
得(n-1)b1+(n-2)b2+…+2bn-2+bn-1=(

8

9

)n-2+(

8

9

)n-3+…+

8

9

+1   ②
①-②得b1+b2+…+bn=(

8

9

)n-1即Tn=b1+b2+…+bn=(

8

9

)n-1
当n=1时，b₁=T₁=1，当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=(

8

9

)n-1-(

8

9

)n-2=-

1

9

•(

8

9

)n-2
∴bn=

1   (n=1) - 1 9 •( 8 9 )n-2(n≥2)

于是Cn=-anbn=

-2(n=1) 1 9 •( 8 9 )n-2•(n+1)(n≥2)

设存在正整数k，使对n∈N^*，C_n≤C_k恒成立．
当n=1时，C2-C1=

7

3

＞0，即C₂＞C₁
当n≥2时，Cn+1-Cn=

1

9

•(

8

9

)n-1(n+2)-

1

9

•(

8

9

)n-2(n+1)=

1

9

•(

8

9

)n-2[

8

9

(n+2)-(n+1)]=(

8

9

)n-2•

7-n

81

．
∴当n＜7时，C_n+1＞C_n，当n=7时，C₈=C₇，当n＞7时，C_n+1＜C_n
∴存在正整数k=7或8，对于任意正整数n都有C_n≤C_k成立

点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法，分类讨论的思想方法是解题的关键．