Question

已知向量

e

=(1，0)，O是坐标原点，动点P满足：|

OP

|-

OP

•

e

=2
（1）求动点P的轨迹；
（2）设B、C是点P的轨迹上不同两点，满足

OB

=λ

OC

(λ≠0，λ∈R)，在x轴上是否存在点A（m，0），使得

AB

⊥

AC

，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令P（x，y），由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点P的轨迹方程．
（2）设BC：x=ky设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线的方程与点P的轨迹方程联立得到B，C两点的坐标与参数k的关系，再由

AB

⊥

AC

，得到（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0，建立起参数m，k的方程，由其形式作出判断求参数的取值范围，若能求出则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）令P（x，y），则

x2+y2

-(x-y)•(1，0)=2
∴

x2+y2

=x+2即y²=4（x+1）（4分）
（2）存在?-2≤m＜-1或m≥2使得

AB

⊥

AC

，
设BC：x=ky设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）

x=ky y2=4(x+1)

?y²-4ky-4=0
y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4（6分）
∵

AB

⊥

AC

     ∴

AB

•

AC

=0
即（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0即
（k²+1）y₁y₂-mk（y₁+y₂）+m²=0（8分）
∴-4（k²+1）-mk-4k+m²=0
（4m+4）k²=m²-4（10分）
若存在则

m≠-1 m2-4 4(m+1) ≥0

?-2≤m＜-1或m≥2．（12分）

点评：本题考查平面向量的正交分解与坐标表示，解题的关键是由向量的坐标表示与模与内积的坐标表示求出点P的轨迹方程以及利用直线与圆锥曲线的位置关系及向量的内积为0建立起参数的方程．本题综合性强运算量大，思维含量较大，极易因变形及运算出错，解题时要严谨认真．