Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，设A₁C₁的中点为O₁．
（Ⅰ）求棱AA₁的长
（Ⅱ）求证：面A₁BC₁⊥面BDD₁O₁
（Ⅲ）求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设A₁A=h，由题设=-=10，
得S_ABCD×h-××h=10，
即2×2×h-××2×2×h=1解得h=3．
故A₁A的长为3．（4分）
（Ⅱ）如图，连接AC、BO₁
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁C₁∥AC．
∴四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥D₁D又AC与BD相交
∴AC⊥平面D₁DC． 由A₁C₁∥AC．
∴A₁C₁⊥平面D₁DC．A₁C₁?平面A₁BC₁．
∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁． （9分）
（Ⅲ）因为在长方体中A₁D₁∥BC，
所以∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角）．（11分）
在△O₁BC中，计算可得O₁B=O₁C=，
则∠O₁BC的余弦值为，
故异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值为：．（14分）
分析：（Ⅰ）先设出棱A₁A的长，求出长方体的体积和被截的几何体的体积，根据条件建立等量关系，求出所求；
（Ⅱ）根据题意四边形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根据D₁D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D₁DC，由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁⊥平面D₁DC．从而可证平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．
（Ⅲ）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力