Question

已知条件p：A={x∈R|x²+ax+1≤0}，条件q：B={x∈R|x²-3x+2≤0}．若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：￢q是￢p的充分不必要条件，根据逆否命题与原命题的等价性，得p是q的充分不必要条件，由此可得集合A是集合B的真子集．将q对应的不等式分别解出，再对p中的集合A进行讨论，解关于a不等式即可得到本题的答案．

解答：解：∵条件q：B={x∈R|x²-3x+2≤0}，
∴解不等式x²-3x+2≤0，得1≤x≤2，得B=[1，2]
∵￢q是￢p的充分不必要条件，
∴根据逆否命题与原命题的等价性，得p是q的充分不必要条件
因此，A={x∈R|x²+ax+1≤0}?B=[1，2]
①当A=∅时，a²-4＜0，解之得-2＜a＜2；
②当A≠∅时，a²-4≥0，得a≥2或a≤-2
∵x²+ax+1≤0的解集为A={x|

-a- a2-4

2

≤x≤

-a+ a2-4

2

}
∴结合A?B，可得1≤

-a- a2-4

2

且

-a+ a2-4

2

≤2，（两个不等式的等号不同时成立）
解之可得-

5

2

≤a≤-2
综上所述，可得实数a的取值范围为-

5

2

≤a＜2．
即若￢q是￢p的充分不必要条件，实数a的取值范围是[-

5

2

，2）．

点评：本题给出两个不等式对应的条件，叫我们判断充分必要性，着重考查了一元二次不等式的解法和充要条件的判断等知识，属于基础题．