Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn ， 且an2+an=2Sn ， n∈N* ．
（1）求a1及an；
（2）求满足Sn＞210时n的最小值；
（3）令bn=4 ，证明：对一切正整数n，都有 + + ++ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an2+an=2Sn，n∈N*．

∴当n=1时， ，且a1＞0，解得a1=1，

∵an2+an=2Sn，①，∴ ，②

①﹣②，得： ，

整理，得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1，

∴数列{an}是首项和公差都为1的等差数列，

∴an=n．

（2）解：∵数列{an}是首项和公差都为1的等差数列，an=n．

∴Sn= ，

∵Sn＞210，∴ ，

整理，得n2+n﹣420＞0，解得n＞20（n＜﹣21舍），

∴满足Sn＞210时n的最小值是21．

（3）证明：由题意得 ，则 ，

∴数列{ }是首项和公比都是 的等比数列，

∴ + + ++ = = ．

故对一切正整数n，都有 + + ++ ＜ ．

【解析】（1）当n=1时， ，由此能求出a1=1，由an2+an=2Sn，得 ，从而（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，进而数列{an}是首项和公差都为1的等差数列，由此能求出an=n．（2）求出Sn= ，由此能求出满足Sn＞210时n的最小值．（3）由题意得 ，从而数列{ }是首项和公比都是 的等比数列，由此能证明对一切正整数n，都有 + + ++ ＜ ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．