Question

【题目】设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1+cos2x+sin2x+a= sin（2x+ ）+1+a，

∵ω=2，∴T=π，

∴f（x）的最小正周期π；

当2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z）时f（x）单调递增，

解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），

则x∈[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；

（2）解：当x∈[0， ]时， ≤2x+ ≤ ，

当2x+ = ，即x= 时，sin（2x+ ）=1，

则f（x）max= +1+a=2，

解得：a=1﹣ ，

令2x+ =kπ+ （k∈Z），得到x= + （k∈Z）为f（x）的对称轴．

【解析】（1）函数f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间为[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z）求出x的范围即为函数的递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值，表示出函数的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令这个角等于kπ+ （k∈Z），求出x的值，即可确定出对称轴方程．
【考点精析】掌握两角和与差的正弦公式和二倍角的余弦公式是解答本题的根本，需要知道两角和与差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．