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    （2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
    1
    2
    ，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4
    		3
    y    的焦点．
    （I）求椭圆C的标准方程；
    （II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
    （III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求
    OS
    •
    OT
    的取值范围．
    分析：（1）由抛物线x2=4
    		3
    y    得焦点(0，
    		3
    )    ．设椭圆方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ．由题意可得b=
    		3
    ，再利用e=
    c
    a
    =
    		1-
    b2
    a2
    及a2=b2+c2即可得出；
    （2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．直线BE的方程为y-(-y2)=
    y2+y1
    x2-x1
    (x-x2)    ．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；
    （3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积
    OS
    •
    OT
    ，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．
    解答：（1）解：由抛物线x2=4
    		3
    y    得焦点(0，
    		3
    )    ．
    设椭圆方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ．
    由题意可得
    e=
    c
    a
    =
    		1-
    b2
    a2
    =
    1
    2
    b=
    		3
    a2=b2+c2
    ，解得
    a=2
    b=
    		3
    c=1
    ，
    ∴椭圆的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
    联立
    y=k(x+4)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2-12=0   ①
    设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．
    直线BE的方程为y-y2=
    y2+y1
    x2-x1
    (x-x2)    ．
    令y=0，则x=x2-
    y2(x2-x1)
    y2+y1
    ，
    把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得x=
    2x1x2+4(x1+x2)
    x1+x2+8
    ．②
    由①得x1+x2=-
    32k2
    4k2+3
    ，x1x2=
    64k2-12
    4k2+3
    ，将其代入②并整理得x=
    (128k2-24)+4×(-32k2)
    -32k2+8(4k2+3)
    =-1    ．
    ∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
    （3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，
    联立
    y=m(x+1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    得（4m2+3）x2+8m2x+4m2-12=0，
    则△=（8m2）2-4（4m2+3）（4m2-12）=144（m2+1）＞0．
    ∴x3+x4=-
    8m2
    4m2+3
    ，x3x4=
    4m2-12
    4m2+3
    ，
    ∴y3y4=m2(x3+1)(x4+1)=m2（x3x4+x3+x4+1）=-
    9m2
    4m2+3
    ．
    ∴
    OS
    •
    OT
    =x3x4+y3y4=-
    5m2+12
    4m2+3
    =-
    5
    4
    -
    33
    4(4m2+3)
    ．
    由m2≥0得
    OS
    •
    OT
    ∈[-4，-
    5
    4
    )    ．
    当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S(-1，
    3
    2
    )    ，T(-1，-
    3
    2
    )    ，
    此时，
    OS
    •
    OT
    =-
    5
    4
    ，
    ∴
    OS
    •
    OT
    的取值范围为[-4，-
    5
    4
    ]    ．
    点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．
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