Question

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.

Answer 1

剖析一:两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.

解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a_n}，则a₁=11.

    ∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a_n}的公差d=3×4=12.

    ∴a_n=12n-1.

    又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a_n=12n-1≤302,即n≤25.5.

    又n∈N^*，∴两个数列有25个相同的项.

    其和S₂₅=11×25+×12=3 875.

剖析二:由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.

解法二:设5，8，11，…与3，7，11，…分别为{a_n}与{b_n}，则a_n=3n+2,b_n=4n-1.

    设{a_n}中的第n项与{b_n}中的第m项相同,

    即3n+2=4m-1,∴n=m-1.

    又m、n∈N^*，∴设m=3r(r∈N^*),

    得n=4r-1.

    根据题意得

    解得1≤r≤25(r∈N^*).

    从而有25个相同的项，且公差为12,

    其和S₂₅=11×25+×12=3 875.