Question

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为

1

4

、 

1

3

，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．
（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；
（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率．

Answer 1

分析：（1）要求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率，我们先分析事件包含的不同情况，即有2件甲批次产品检验不合格的概率，及3件甲批次产品检验都不合格的概率，然后利用互斥事件概率加法公式即可得到答案．
（2）甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件，也包含两种情况：件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．或有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格，我们分别求出两种情况发生的概率，然后利用互斥事件概率加法公式即可得到答案．

解答：（Ⅰ）解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．
由题意，事件A包括以下两个互斥事件：
①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．
由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率
公式，得P(B)=

C

2 3

•(

1

4

)2•(1-

1

4

)1=

9

64

；
②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．
由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=(

1

4

)3=

1

64

；
所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)=P(B)+P(C)=

5

32

．

（Ⅱ）解：记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D．
由题意，事件D包括以下两个互斥事件：
①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．
其概率P(E)=(

1

4

)3•

C

1 3

(

1

3

)1(1-

1

3

)2=

1

144

；
②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．
其概率P(F)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)•(1-

1

3

)3=

1

24

；
所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)=

7

144

．

点评：本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率及互斥事件概率加法公式，其中对满足条件的事件进行讨论，分析出其包含的几种情况，再分别求出各种情况的概率是解答本题的关键．