Question

【题目】在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.

Answer 1

【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，消去得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．

(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，，得，由的几何意义可求得的值．

试题解析：

(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），

消去得．由圆极坐标方程为，得．

故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．

(Ⅱ)将代入得，．

设其两根分别为，则．

由的几何意义知 ．故为定值(与无关) .