Question

（2012•菏泽一模）在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N₊），公比q∈（0，1），且a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，又4是a₄与a₆的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I） 因为a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，所以（a₄+a₆）²=100，由a_n＞0，得a₄+a₆=10，由4为a₄与a₆的等比中项，得a₄•a₆=16，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由b_n=log₂a_n=7-n，得{b_n}的前n项和T_n=

n(13-n)

2

，由此能求出数列{|b_n|}的前n项和S_n．

解答：解：（I）因为a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，即a42+2a4a6+a62=100，
∴（a₄+a₆）²=100，
又∵a_n＞0，∴a₄+a₆=10，…（2分）
又∵4为a₄与a₆的等比中项，∴a₄•a₆=16，…（3分）
∴a₄，a₆是方程x²-10x+16=0的两个根，
而q∈（0，1），∴a₄＞a₆，∴a₄=8，a₆=2，…（4分）
∴

a1q3=8 a1q5=2

，解得a1=64，q=

1

2

，
∴an=64•(

1

2

)n-1=2^7-n．…（6分）
（II）b_n=log₂a_n=7-n，
则{b_n}的前n项和T_n=

n(13-n)

2

，
∴当1≤n≤7时，b_n≥0，∴Sn=

n(13-n)

2

，…（8分）
当n≥8时，b_n≤0，S_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n） …（10分）
=-（b₁+b₂+…+b_n）+2（b₁+b₂+…+b₇）
=-

n(13-n)

2

+2×

7×(6+0)

2

=

n2-13n+84

2

，
∴Sn=

13n-n2 2 ，(1≤n≤7，且n∈N*) n2-13n+84 2 (n≥8，且n∈N*)

．…（13分）

点评：本题考查等比数列、等差数列有关性质及求和的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．