Question

（本小题满分14分）
如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．

（1）求证：；
（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）要证 ，只需证，只需证 平面； （2）。

试题分析：（1）∵平面，平面，
∴   又为正方形，∴．又，…………3分
∴平面 ∵平面，∴． ………………………………5分
∵中，中位线，∴     ……………6分
（2）记AD中点为H，连结FH、HG，易知GH//DC，，    
又中EF//DC，∴EF//GH所以E、F、H、G四点共面……7分
∴平面EFG与平面ABCD交于GH，所求锐二面角为F-GH-D.……………8分
由（1）平面，EF//DC//GH∴平面
即平面FHD，平面FHD，
所以FH，DH，
∴二面角F-GH-D的平面角是  ……………………11分
FH是等腰直角的中位线，=  …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为．………………14分
证法2：DA、DC、DP两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系…1分

则，， ，，G(1,2,0)，       ………3分
（1）， ………………4分
∵ ∴……6分
∴      ………………………………………7分
（2）∵平面，
∴是平面的一个法向量．………9分
设平面EFG的法向量为，∵
令,得是平面的一个法向量. …………11分
∵        …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为．                ……………………………14分
点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。