Question

(1)如下图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M∈AD₁，N∈BD，且D₁M＝DN，求证：MN∥平面CC₁D₁D

(2)在本题中，若M、N分别是AD₁、BD的中点，求证：MN∥平面CC₁D₁D

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证法一：连结AN并延长，交直线CD于E，连结D₁E．

　　∵AB∥CD，∴．

　　∵BD＝AD₁，且D₁M＝DN，∴．

　　在△AD₁E中，MN∥D₁E．

　　又MN平面CC₁D₁D，D₁E平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D．

　　证法二：过点M作MP∥AD，交DD₁于P，过点N作NQ∥AD交CD于点Q，连结PQ，

　　则MP∥NQ，在△D₁AD中，．

　　∵NQ∥AD，AD∥BC，∴NQ∥BC．

　　在△DBC中，．

　　∵D₁M＝DN，D₁A＝DB，AD＝BC，∴NQ＝MP．

　　∴四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ．

　　而MN平面CC₁D₁D，PQ平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D

　　(2)证明：∵N是BD的中点，∴N也是AC的中点．

　　又∵M是AD₁的中点，

　　∴MN是△ACD₁的中位线．

　　∴MN∥D₁C．

　　又∵MN平面CC₁D₁D，D₁C平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D

　　思路分析：(1)本题考查直线与平面平行的判定方法．要证明MN∥平面CC₁D₁D，根据直线和平面平行的判定定理，只需要在平面CC₁D₁D内找一条与MN平行的直线即可，而此直线的作法多种多样，下面给出两种证明方法．

提示：

从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一条直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．