Question

 

已知函数 .

（Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）因为， x >0，则， （1分）

             当时，；当时，.

             所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

             所以函数在处取得极大值.             （1分）

             因为函数在区间（其中）上存在极值，

             所以  解得.                （2分）

（Ⅱ）不等式即为 记

      所以   （1分）

      令，则，                       （1分）

      ，    

      在上单调递增，                             （1分）

      ，从而，

      故在上也单调递增，                           （1分）

      所以，所以 .                      （1分）

（Ⅲ）又（Ⅱ）知：恒成立，即，  （1分）

     令，则，

     所以 ，                                     （1分）

          ，

          ，

           

          ，                               （1分）

      叠加得：

     

 .                         （2分）

则，

所以.                             （1分）