Question

已知函数f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．
（I）求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1）．若对任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)=x-1+

a+2

x-1

+a+2，由y=x+

a+2

x

（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），f（x）的对称中心是（b，1），能求出a．
（II）由a=-1，b=1，知f（x）=

x2-x+1

x-1

.f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），由对任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立推导出-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．由此能求出c的取值范围．

解答：解：（I）∵f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)
=

(x-1)2+(a+2)x

x-1

=x-1+

a+2

x-1

+a+2，
∵y=x+

a+2

x

，（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），
∴f（x）有唯一一个对称中心（1，a+2），
∵f（x）的对称中心是（b，1），∴a=-1，b=1．
故a=-1．
（II）∵a=-1，b=1，∴f（x）=

x2-x+1

x-1

．
∴f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，
列表讨论：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	不存在	-	0	+
f（x）	↑	-1	↓	不存在	↓	3	↑

∴函数f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）．
（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得
g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），
当x₂∈[-1，0]时，g′（x₂）≤0，
∴g（x₂）∈[g（0），g（-1）]．即g（x₂）∈（-2c，-2c-1），
∵f（x）在[2，4]上是增区数，f（2）=3，f（4）=

13

3

，
∴f(x1)∈[3，

13

3

]．
∵任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．
∴

-2c≤3 c≤-1 3c2-2c- 16 3 ≥0

，解得-

3

2

≤c≤

1- 17

3

．
故c的取值范围是[-

3

2

，

1- 17

3

]．

点评：本题考查函数的对称中心的应用，考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．