Question

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y．

　　

(1)试求y关于h的函数解析式；

(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；

(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)显然h＞1，连接AQ， ∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ， ∴AQ⊥DQ，AQ=y2－h2． ∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，CQ=， ∴，即． ∴y=(h＞1)． (2)y== =＋≥2， 当且仅当，即h=时，等号成立． 此时CQ=1，即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ，∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=，PQ=AD=2，∴AE=1，sinADE=，∠ADE=30°． (3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r， 则(S△PAD＋S△PAQ＋S△PDQ＋S△ADQ)·r=VP－ADQ ． ∵VP－ADQ=S△ADQ·PA=，S△PAQ=1， S△PAD=，S△QAD=1，S△PDQ=， ∴r=．