Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）证明线面平行，需要证明直线平行面内的一条直线即可．
（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解．
（3）求多面体ABCDE的体积，转化两个三棱锥的体积之和，分别求解．

解答：解：方法一：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得EF=DO=

3

所以四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF；∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；
∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵FG-BF•sin∠FBG-

1

2

EF=

3

，
∴EG=

EF2-FG2

=

13

2

，
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

13

即二面角E-BC-A的余弦值为

13

13

．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积V1=

1

3

S△BAC•DE=

1

3

•

3

•(

3

-1)=

3- 3

3

，
又三棱锥E-ABC的体积V2=

1

3

S△ABC•EF=

1

3

•

3

•

3

=1，
∴多面体DE-ABC的体积为V=V₁+V₂=

6- 3

3

，
方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
可求得平面ABC的一个法向量为

n1

(0，0，1)，
平面BCE的一个法向量为

n2

(-3，

3

，1)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

13

13

，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角E-BC-A的余弦值为

13

13

．
（3）同方法一

点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，线面平行，体积等知识，高考必考内容，考查空间想象能力和逻辑思维推理能力．