Question

已知函数，其中为常数，且。

当时，求在（ ）上的值域；

若对任意恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）  

解析:

（Ⅰ）当时，     得        ……2分

    令，即，解得，所以函数在上为增函数，

    据此，函数在上为增函数，                  ………………4分

    而，，所以函数在上的值域为…6分

（Ⅱ）由令，得即

      当时，，函数在上单调递减；

      当时，，函数在上单调递增； ……………7分

      若，即，易得函数在上为增函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此时无解…8分

若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，

要使对恒成立，只需，即，

由和

得.                                ………………10分

      若，即，易得函数在上为减函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即，又因为，所以.   ……………12分

      综合上述，实数a的取值范围是.    ……………13分