Question

【题目】已知四边形ABCD内接于圆O

(1)若AB=2,BC=6,CD=4,AC=8,求BD

(2)若AC=,BC=+1,∠ADB=,求AD2+DC2的取值范围

Answer 1

【答案】(1)BD=.(2)[ ].

【解析】试题分析：(1)由四点共圆,所以 ，则在 和 中,由余弦定理得

= ，可求，同理可求；

(2)由题∠ADB=,可得∠ACB=

中由余弦定理得。由余弦定理可得cos∠ABC==

所以∠ABC=,∠ADC=

在C中,由正弦定理得===2

所以 令 ,则 整理化简，由辅助角公式可求 的取值范围

试题解析：(1)ABCD四点共圆,所以∠ABC+∠ADC=π,∠BAD+∠BCD=π

在△ABC和△ADC中,由余弦定理得

cos∠ABC===-cos∠ADC

可求得=4

同理,在△ABC和△ADC中有

cos∠BAD===-cos∠BCD

可求得BD=.

(2)∠ADB=,∴∠ACB=

△ABC中由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos

所以AB=2

cos∠ABC====

所以∠ABC=,∠ADC=

在△ADC中,由正弦定理得===2

所以AD=2sin∠ACD,CD=2sin∠CAD

令∠ACD=θ,则∠CAD=-θ

AD2+DC2=(2sinθ)2+[2sin(-θ)]2

=8(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)

=8(-+)

=8-(2cos2θ+2sin2θ)

=8-sin(2θ+)

θ∈(0),2θ+∈(,)

所以AD2+DC2∈[].