Question

【题目】已知圆:，直线： ．

（1）设点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形的面积的最小值；

（2）过作直线的垂线交圆于点， 为关于轴的对称点，若是圆上异于的两个不同点，且满足： ，试证明直线的斜率为定值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 见解析

【解析】试题分析：(1) 四边形PAOB为两个对称的直角三角形构成，其中OA与OB为圆的半径，其值固定不变，故到当PO最小值，四边形PAOB的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出PO的长，利用勾股定理求出此时AP的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形PAOB面积的最小值．

(2) ， ，设直线的斜率为，则 斜率为，联立消得： ，得，

同理，从而得到直线的斜率为定值．

试题解析：

（1）设四边形的面积为， ，

，所以，当最小时， 就最小，

，所以： ．

（2）直线的方程为： ，代入，且在第一象限，

得则．设， ，

证法1： ，

设直线的斜率为，则 斜率为，

， ，

联立消得： ，

，得，

同理，

，

所以，直线的斜率为定值1．

证法2： ， 的弧长等于的弧长，则，

所以： ，

展开得： ，

因为在圆上，则满足： ，

所以整理为： ，即： ，

故，为定值．