Question

【题目】已知动点是圆： 上的任意一点，点与点的连线段的垂直平分线和相交于点.

（I）求点的轨迹方程；

（II）过坐标原点的直线交轨迹于点， 两点，直线与坐标轴不重合. 是轨迹上的一点，若的面积是4，试问直线， 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直线， 的斜率之积是定值

【解析】试题分析：（I）由题意得，利用椭圆的定义，得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而得到椭圆的方程；

（II）设直线的方程为,联立发出来，求解，设所在直线方程为，联立椭圆方程得的坐标，再求得点到直线的距离，根据面积列出方程，得到的方程，即可求解的值.

试题解析：

（I）由题意， ，又∵

∴，

∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，

∴椭圆的方程为.

（II）设直线的方程为,联立，得

∴

设所在直线方程为，联立椭圆方程得或，

点到直线的距离.

∴，

即，解得，

∴直线， 的斜率之积是定值