Question

【题目】（题文）已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为4.

(1)求抛物线和圆的方程；

(2)过点的直线与抛物线相交于两点抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程.

（2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论.

试题解析：

（1）由题意可知，，所以，故抛物线的方程为.

又，所以， 所以圆的方程为.

（2）设直线的方程为：，并设，

联立，消可得，.

所以；

.

，所以过点的切线的斜率为，切线为，

令，可得，， 所以点到直线的距离，

故，分

又，代入上式并整理可得：

，令，可得为偶函数，

当时，，

，令，可得，

当，，当，，

所以时，取得最小值，故的最小值为.