Question

已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线l：x＝的距离为3.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x2＋y2＝

【解析】(1)由题知2|F1F2|＝|MF1|＋|MF2|，

即2×2c＝2a，得a＝2c.

又由－c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝.

∴椭圆E的方程为＝1.

(2)假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．

(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y＝kx＋m，则r＝，r2＝，①

由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有

又∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，

即4(1＋k2)(m2－3)－8k2m2＋3m2＋4k2m2＝0，化简得m2＝ (k2＋1)，②

由①②求得r2＝.

所求圆的方程为x2＋y2＝.

(ⅱ)若AB的斜率不存在，设A(x1，y1)，则B(x1，－y1)，∵⊥，∴·＝0，有－＝0，＝，代入＝1，得＝.此时仍有r2＝||＝.

综上，总存在以原点为圆心的圆x2＋y2＝满足题设条件