Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N*）（整点即横坐标与纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）（理）设，求S_n的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）设求证：≥．
（文）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且．若对一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知D_n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）由．知．所以≥．
（ii）=）≥=．
（文）由题设知T_n=．T_n+1-T_n=-=，n≥3时{T_n}是递减数列，且，所以T₂，T₃是数列{T_n}的最大项，故m≥．
解答：解：（1）∵x＞0，y=3n-nx＞0，0＜x＜3，x=1或x=2．
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，
∴y₁=2n，y₂=n．∴a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）．
∵．
∴S_n+1＞S_n，S_n≥S₂（n＞1，n∈N*）．
∵≥．

（ii）==）
≥=．
（文）∵S_n=3（1+2+3+…+n）=，∴T_n=．
∴T_n+1-T_n=-=，∴当n≥3时，T_n+1＜T_n，∴n≥3时{T_n}是递减数列，且，∴T₂，T₃是数列{T_n}的最大项，故m≥
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．