Question

如图，正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．

Answer 1

分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．

解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，
所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，
所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到

1

2

SE•DF=

1

2

SD•DE，所以，DF=

SD•DE

SE

=

1 2 a•DE

SE

．易知，SE=

SB2-BE2

=

a2-( a 2 )2

=

3

2

a，
DE=

SE2-SD2

=

3 4 a2-( a 2 )2

=

2

2

a，所以，DF=

a

2

•

2 2 a

3 2 a

=

6

6

a．
所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即

1

3

π•(

6

6

a)2•SF+

1

3

π•(

6

6

a)2•EF=

1

3

π•(

6

6

a)2•SE=

1

3

π•

a2

6

•

3

2

a=

3

36

πa3．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．