Question

（2009•聊城一模）某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动．凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A，B，C，D，E所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5．相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品．摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域C，可获得价值3元的学习用品）．
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（Ⅱ）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元的学习用品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A，B，C，D，E．其概率分别为P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，P(E)=

5

15

=

1

3

．由此能求出结果．
（ II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F，P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．由此能求出学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率．

解答：解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A，B，C，D，E．
则其概率分别为P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，
P(E)=

5

15

=

1

3

．…（3分）
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ζ，则的分布列为：

ζ	1	2	3	4	5
P	1 3	4 15	1 5	2 15	1 15

Eζ=1×

1

3

+2×

4

15

+3×

1

5

+4×

2

15

+5×

1

15

=

7

3

．…（6分）
若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为1500Eζ=3500（元），
除去购买学习用品的款项后，剩余款项为1500×10-3500=11500（元），
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗．…（8分）
（ II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F，则P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为

7

45

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．