Question

（2009•聊城一模）如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，分别求出直线B₁B和直线D₁E的方向向量，判定两直线平行后，根据线面垂直的性质定理可得B₁B∥平面D₁AC；
（ II）分别求出平面AB₁D₁的法向量和平面D₁AC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：解：以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，
则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），
B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）．…（3分）
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=E，连接D₁、E，
则有E(1，1，0)，

D1E

=

B1B

=(1，1，-2)，
所以B₁B∥D₁E，
∵BB?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
∴B₁B∥平面D₁AC；…（6分）
（ II）

D1B1

=(1，1，0)，

D1A

=(2，0，-2)，
设

n

=(x，y，z)为平面AB₁D₁的法向量，

n

•

B1D1

=x+y=0，

n

•

D1A

=2x-2z=0．
于是令x=1，则y=-1，z=1．
则

n

=(1，-1，1)…（8分）
同理可以求得平面D₁AC的一个法向量

m

=(1，1，1)，…（10分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

．
∴二面角B₁-AD₁-C的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立适当的空间坐标系，将线面关系及二面角问题转化为空间向量问题是解答本题的关键．