【题目】已知抛物线:
上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.
,
为抛物线上的两动点(
、
不重合且均异于原点),
为坐标原点,直线
、
的倾斜角分别为
,
.
(1)求抛物线方程;
(2)若,求证直线
过定点;
(3)若(
为定值),探求直线
是否过定点,并说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)是,理由见解析.
【解析】
(1)根据抛物线的定义结合已知求出的值,最后写出抛物线的标准方程;
(2)设出直线的方程与抛物线方程联立,由已知
可以得到
,结合平面向量数量积坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系,最后得到直线
过定点;
(3)根据(2)中的特例,再结合,根据两角和的正切公式、直线倾斜角和斜率的关系,最后能求出直线
所过定点.
(1)设为抛物线上任一点,
为焦点,则
,
故抛物线方程.
(2)设,
,
:
,联立
得
,
,
,即
,
则.
得已,从而直线
过定点
.
(3)由(2),:
,
,
当或
时,
,
,故
,
于是直线经过定点
.
当且
时,
,
,
即,
.
故直线:
,即为
,
故直线过定点
.
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【题目】已知O为坐标原点,抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6,若点P为抛物线C准线上的动点,则|OP|+|AP|的最小值为( )
A. 4B. C.
D.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,点
在
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:
与椭圆
相交于
,
两点,问
轴上是否存在点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
.我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用.已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
分别作该椭圆的两条切线
,且
与
交于点
.当
变化时,求
面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线
相交于
两点,当
时,求
的取值范围.
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【题目】如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位:万元)及其构成比例,则下列判断正确的是( )
A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大
B. 由于丙企业生产规模大,所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大
C. 甲企业本着勤俭创业的原则,将其他费用支出降到了最低点
D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高
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