Question

如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，。将四边形沿折起成如图2的位置，使平面和平面所成二面角的大小为，

（Ⅰ）求证：直线平面；   

（Ⅱ）求二面角的大小：

Answer 1

（Ⅰ） 见解析   （Ⅱ） 

解析:

（Ⅰ），为平面和

平面所成二面角的平面角，即，………（1分）

，①………（3分）

又平面，②………（4分）

由①②知直线平面。………（5分）

∵BB₁∥CC₁ ，CC₁⊥平面EB₁C₁  ∴BB₁⊥平面EB₁C₁

（Ⅱ）将图形补形成如图3所示的正三棱柱，

作垂足为，则平面，作于

点，连，由三垂线定理得，………（7分）

所以是二面角的平面角………（9分）

为正三角形，四边形为正方形，，，，………（11分）

又二面角与二面角互补

二面角的大小为………（12分）

（Ⅱ）解法二：如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，  ，………（6分）

可求平面的一个法向量为………（7分）

设平面的一个法向量为

由

令则，，………（9分）

………（11分）

二面角的大小为………（12分）