Question

设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ）
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若tanαtanβ=16，求证：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）根据题意算出向量

b

-2

c

的坐标，结合

a

与

b

-2

c

垂直，得

a

与

b

-2

c

的数量积为0，由此列出关于α、β的式子，最后用两角和的正、余弦公式合并，化成正切即可得到tan（α+β）的值；
（2）将tanαtanβ=16化成正、余弦的式子，可得sinαsinβ=16cosαcosβ，再结合两个向量平行（共线）的充要条件，可证出

a

∥

b

．

解答：解：（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），且

a

与

b

-2

c

垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，…（3分）
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），…（4分）
∴sin（α+β）=2cos（α+β），
两边都除以2cos（α+β），得tan（α+β）=2．…（6分）
（2）∵tanαtanβ=16，
∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），且4cosα•4cosβ=sinα•sinβ…（10分）
∴向量

a

与向量

b

共线，即

a

∥

b

．…（12分）

点评：本题给出向量的坐标为含有正、余弦的式子，求证向量互相平行，着重考查了平面向量数量积的运算、平面内两个向量平行或垂直的关系和三角函数的化简求值等知识，属于基础题．