Question

设函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为

1

2

，则a=

4或

1

4

．

Answer 1

分析：分a＞1和0＜a＜1两种情况来解，注意利用函数的单调性求出最值，再应用条件求a．

解答：解：当a＞1时，f（x）=log_ax在区间[a，2a]上是增函数，故最大值为f（2a），最小值为f（a），
所以log_a（2a）-log_aa=

1

2

，
所以a=4，满足a＞1，
当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在区间[a，2a]上是减函数，故最大值为f（a），最小值为f（2a），
所以log_aa-log_a（2a）=

1

2

，
所以a=

1

4

，满足0＜a＜1，
综上所述，a=4或a=

1

4

．
故答案为：4或

1

4

．

点评：本题考查函数的单调性与特殊点，体现分类讨论的数学思想．